Lớp 8Toán

Các bài tập về hằng đẳng thức lớp 8

Tổng hợp Các bài tập về hằng đẳng thức lớp 8 hay nhất, chi tiết, bám sát nội dung SGK Toán lớp 8, giúp các em ôn tập tốt hơn.

Bài tập 1: Tính nhanh kết quả các biểu thức sau:

a) 1272 + 146.127 + 732

Bạn đang xem: Các bài tập về hằng đẳng thức lớp 8

b) 98.28 – (184 – 1)(184 + 1)

c) 1002 – 992 + 982 – 972 + …+ 22 – 12

d) (20 + 182 + 162 +…+ 42 + 22) – ( 192 + 172 + 152 +…+ 32 + 12)

Giải: 

a) A = 1272 + 146.127 + 732

= 1272 + 2.73.127 + 732

= (127 + 73)2

= 2002

= 40000 .

b) B = 98.28 – (184 – 1)(184 + 1)

= 188 – (188 – 1)

= 1

c) C = 1002 – 992 + 982 – 972 + …+ 22 – 12

= (100 + 99)(100 – 99) + (98 + 97)(98 – 97) +…+ (2 + 1)(2 – 1)

= 100 + 99 + 98 + 97 +…+ 2 + 1

= 5050.

d) D = (202 + 182 + 162 +…+ 42 + 22) – ( 192 + 172 + 152 +…+ 32 + 12)

= (202 – 192) + (182 – 172) + (162 – 152)+ …+ (42 – 32) + (22 – 12)

= (20 + 19)(20 – 19) + (18 + 17)(18 – 17) + ( 16 +15)(16 – 15)+ …+ (4 + 3)(4 – 3) + (2 + 1)(2 – 1)

= 20 + 19 + 18 + 17 + 16 +15 + …+ 4 + 3 + 2 + 1

= 210

Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : C = x2 – 2x + 5

Giải: 

Ta có: C = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4

Mà: (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.

→ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 hay C ≥ 4

Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 <=> x = 1

Nên vì vậy: Cmin = 4 khi x = 1

Bài tập 3: Rút gọn biểu thức:

a, (x + y)2 + (x – y)2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

Giải: 

a, (x + y)2 + (x – y)2

= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2

= 2x2 + 2y2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

= [(x + y) + (x – y)]2 = (2x)2 = 4×2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

= (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2

= [(x – y + z) + (y – z)]2 = x2

Bài tập 4: So sánh hai số sau, số nào lớn hơn?

a) A = (2 + 1)(22+ 1)(24+ 1)(28 + 1)(216 + 1) và B = 232

b) A = 1989.1991 và B = 19902

Giải: 

a) Ta nhân 2 vế của A với 2 – 1, ta được:

A = (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)

Ta áp dụng đẳng thức ( a- b)(a + b) = a² – b² nhiều lần, ta được:

A = 232 – 1.

=> Vậy A < B.

b) Ta đặt 1990 = x => B = x2

Vậy A = (x – 1)(x + 1) = x2 – 1

=> B > A là 1.

Bài tập 5: Chứng minh bất đẳng thức sau:

a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac với mọi a, b,c thuộc R

Giải: 

Xét :VT – VP = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac

2(VT – VP) = 2(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)

= (a2 – 2ab + b2) + (a2 – 2ac + c2) + (b2 – 2bc + c2)

= (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2

Ta luôn có rằng : 

(a – b)2 ≥ 0 với mọi a,b thuộc R

(a – c)2 ≥ 0 với mọi giá trị a,c thuộc R

(b – c)2 ≥ 0 với mọi giá trị b,c thuộc R

Suy ra : (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 ≥ 0 với mọi a, b,c thuộc R

Hay : VT – VP = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac ≥ 0 với mọi a, b,c thuộc R

Vậy : a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac

Bài tập 6: Chứng minh rằng:

a, (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3

b, (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab] = a3 + b3

c, (a2 + b2)(c+ d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2

Giải: 

a, Ta có: (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + b3 + a3 – b= 2a3

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b, Ta có: (a + b)[(a – b)+ ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab]

= (a + b)(a2 – 2ab + b2) = a3 + b3

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

c, Ta có: (ac + bd)2 + (ad – bc)2

= a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 – 2abcd + b2c2

= a2c+ b2d2 + a2d2 + b2c= c2(a+ b2) + d2(a2 + b2)

= (a2 + b2)(c2 + d2)

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

Bài tập 7: Chứng minh bất đẳng thức sau a4 + b4 ≥ a3b + ab3

Giải: 

Xét :VT – VP = a4 + b4 – a3b – ab3

= (a4 – a3b) + (b4– ab3)

= a3(a – b) – b3(a – b)

= (a – b) (a3– b3)

= (a – b)2 (a2+ ab + b2) = (a – b)2 [(a+b/2)2 + 3b2/4)]

Ta luôn có rằng : (a – b)2 ≥ 0 với mọi giá trị a,b thuộc R

(a+b/2)2 + 3b2/4) ≥ 0 với mọi giá trị a,b thuộc R

Suy ra : VT – VP ≥ 0

Vậy ta có: a4 + b4 ≥ a3b + ab3

Đăng bởi: Đại Học Đông Đô

Chuyên mục: Lớp 8, Toán 8

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Check Also
Close
Back to top button